定比分点公式的应用

实例1：三角形重心坐标

已知三角形ABC的顶点坐标分别为A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)、C(x₃,y₃)，求重心G的坐标。

解法：设BC的中点为D，则AD是中线。重心G在中线AD上，且AG:GD=2:1。

首先求D点坐标（中点公式）：

D\left(\frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2}\right)

然后利用定比分点公式，λ=2，求G点坐标：

G\left(\frac{x_1+2\cdot\frac{x_2+x_3}{2}}{1+2}, \frac{y_1+2\cdot\frac{y_2+y_3}{2}}{1+2}\right) = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)

实例2：线段三等分点

已知线段AB的端点坐标A(1,2)、B(7,8)，求将线段AB三等分的两个点的坐标。

解法：设两个三等分点分别为P和Q，其中P靠近A，Q靠近B。

对于点P，AP:PB=1:2，即λ=1/2：

P\left(\frac{1+\frac{1}{2}\cdot7}{1+\frac{1}{2}}, \frac{2+\frac{1}{2}\cdot8}{1+\frac{1}{2}}\right) = \left(\frac{1+3.5}{1.5}, \frac{2+4}{1.5}\right) = (3, 4)

对于点Q，AQ:QB=2:1，即λ=2：

Q\left(\frac{1+2\cdot7}{1+2}, \frac{2+2\cdot8}{1+2}\right) = \left(\frac{1+14}{3}, \frac{2+16}{3}\right) = (5, 6)

验证：AP=PQ=QB，确实将线段三等分。